Chapter 1.

私の環境では問題は、

So all of this would be easy and simple, except I forgot my 5-digit password. Should've used 1Password or something, but maybe this hint I left for myself will help.

1. The product of the first two digits is 24.
2. The fourth digit is half of the second digit.
3. The sum of the last two digits is the same as the sum of the first and third digits.
4. The sum of all the digits is 26.
5. The second digit is greater than the last digit.

となっており、上述のページで挙げられている答え「64529 or 38645 or 46637 or 24929」は「38645」以外は、5番目の条件「2番目の桁の数は最後の桁の数よりも大きい」に違反。
ひょっとしてあとから条件が加わった？もしくは人により問題が異なる？

ということで、まじめに解く。5桁の数を上から順に x_1,x_2,\ldots,x_5とする。
これらはいずれも0〜9の自然数なので、1. の条件、「最初の2つの桁を掛けると24」により，

(x_1,x_2)\in\{(3,8),(8,3),(4,6),(6,4)\}。

さらに、2の条件、「4桁目は2桁目の半分」から
2桁目は偶数、ということで、

(x_1,x_2,x_4)\in \{(3,8,4),(4,6,3),(6,4,2)\}

のいずれか。一方、４．の条件、「全桁を足すと26」は

\sum_{i=1}^{5}x_i = 26

であるので、これを読みかえると、

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in\{(3,8,x_3,4,11-x_3),(4,6,x_3,3,13-x_3),(6,4,x_3,2,14-x_3)\}。

ここに、３．の条件は、「最後の2桁を足すと1桁目と3桁目の和に等しい」とあるので

x_1+x_3=x_4+x_5

より、これら3つの候補に当てはめると、

x_3は、6,6,5のいずれか。このうち、5番目の条件「第2桁は最後の桁よりも大きい」を満たすのは
「38645」のみ。